Pre rodáka zo Senice sa zo 17. miesta na drafte roku 1997 rozhodli skauti a manažéri Pittsburghu Penguins. Döme v prvej sezóne obliekol dres Tučniakov 30-krát a zapísal si za klobúk 7 bodov. 36 duelov odohral aj za vtedajšiu farmu Pens, Syracause Crunch, kde v 36 stretnutiach získal 46 bodov. V nasledujúcich 2 ročníkoch nastúpil za Penguins už iba v 22 prípadoch a opäť zaznamenal 7 bodov. Jeho pôsobenie v zámorí sprevádzali sťahovania do nižšej AHL a v sezóne 2000/2001 dokonca odohral 34 stretnutí v českej lige za Třinec a Kladno. Následne prišiel ďalší presun za veľkú mláku, kde v drese novej farmy Penguins, Wilkes-Barre/Scranton Penguins, strávil celú sezónu 2001/2002. O rok neskôr sa upísal Plameňom z Calgary, no v NHL za nich naskočil iba do 1 zápasu a celú sezónu hral za farmársky celok Saint John Flames. Dömeho posledný zámorský ročník sa niesol opäť v rytme AHL v drese Lowell Lock Monsters. Potom sa, dnes už 39-ročný vyslúžilý útočník, presunul do Európy, kde sa v sezóne 2006/2007 radoval z výhry vo švédskej SHL a o rok neskôr sa so Slovanom Bratislava stal majstrom Slovenska.